Optimization

1 Variabel Tunggal

Aplikasi penting dari kalkulus adalah teknik pencarian nilai minimum lokal dari suatu fungsi. Masalah pencarian nilai maksimum lokal dari fungsi F dapat ditransformasi dengan mencari nilai minimum lokal dari fungsi -F. Dalam kalkulus, pencarian minimum lokal adalah dengan menurunkan fungsi, mencari titik kritis, dan menemukan titik c yang memenuhi F (c) = 0. Teknik ini juga dapat dilakukan untuk multivariabel. Namun, terkadang turunan untuk suatu fungsi sulit untuk ditentukan, oleh karena itu diperlukan teknik lain selain kalkulus sederhana.

1.1 Fibonacci Search Algorithm

Teknik ini muncul dari masalah “Seberapa akurat titik minimum xdapat di-
tentukan hanya dengan n evaluasi dari F?
“. Dalam teknik ini, inisialisasi
banyaknya step N dengan menentukan besarnya galat yang diinginkan . N adalah nilai fibonacci terkecil yang lebih besar dari .

Dengan adalah suku ke – (n+1) dari deret Fibonacci.

354

untuk k = N, N-1,…,3, lakukan perhitungan berikut

355

pada k = 2, hitung

356

dan didapatkan interval akhir [a,b]. Selanjutnya hitung yang merupakan hampiran minimasi fungsi.

Salah satu kekurangan metode Fibonacci search adalah algoritmanya yang cukup sulit. Selain itu, akurasi yang diinginkan juga harus diberikan sebelum memulai perhitungan karena berpengaruh terhadap banyaknya iterasi yang akan digunakan.

1.2 Golden Section Search Algorithm

Algoritma yang serupa dengan metode Fibonacci adalah metode Golden Sec-
tion
. Algoritma ini memanfaatkan nilai Golden Section, yaitu

357

Dalam setiap langkah algoritma, dibutuhkan dua buah evaluasi F:

358

dengan dan . Terdapat dua kasus yang akan terjadi, yaitu v” target=”_blank”>v” title=”u>v” /> atau .

1.2.1 Kasus v” target=”_blank”>v” title=”u>v” />

Pada kasus u > v, maka nilai minimum pasti terdapat pada selang [a,x]. Perhatikan bahwa pada selang tersebut, sudah terdapat satu nilai evaluasi yang telah dihitung, yaitu v = F (y). Pada langkah selanjutnya, y akan memainkan peran sebagai x, dan dibutuhkan evaluasi berikutnya adalah . Sehingga, langkah yang perlu dilakukan adalah sebagai berikut

359

1.2.2 Kasus

Pada kasus , maka nilai minimum pasti terdapat pada selang [y,b]. Perhatikan bahwa pada selang tersebut, sudah terdapat satu nilai evaluasi yang
telah dihitung, yaitu u = F (x). Pada langkah selanjutnya, x akan memainkan peran sebagai y, dan dibutuhkan evaluasi berikutnya adalah . Sehingga, langkah yang perlu dilakukan adalah sebagai berikut

360

Algoritma tersebut dilakukan setiap langkah perhitungan.

 

kredit : Fiqhi Aji

Categories: Rangkuman Analisis Numerik | Leave a comment

Partial Differential Equation

1 Persamaan Diferensial Parsial

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, persamaan diferensial dapat dibedakan
menjadi PD biasa dan PD parsial berdasarkan banyaknya variabel yang terli-
bat. Beberapa PD parsial yang penting dan sering muncul dalam kehidupan
sehari-hari misalnya

1. Persamaan gelombang

2. Persamaan panas

3. Persamaan laplace

4. Persamaan biharmonic

5. Persamaan Navier-Stokes

 

Secara lebih sederhana, persamaan di atas dapat dituliskan dengan operator
Laplace, misalnya

1. Persamaan gelombang

340

2. Persamaan panas

341

3. Persamaan laplace

342

Selain itu, PD parsial juga dibagi berdasarkan ada tidaknya laju terhadap waktu, yaitu tipe parabolik, hiperbolik dan eliptik.

1. PDP Parabolik

343

2. PDP Hiperbolik

344

3. PDP Eliptik

345

Selanjutnya, seluruh jenis PD parsial akan memiliki domain pengamatan. Pada batas dari domain, terdapat beberapa kondisi yang dapat diterapkan.

1. Dirichlet

346

2. Neumann

347

3. Mixed : Gabungan antara Dirichlet / Neumann

2 Persamaan Panas

Pada praktikum analisis numerik, hanya akan dibahas mengenai PD parsial dengan tipe parabolik. Salah satu contoh sederhana adalah persamaan panas pada satu variabel yang dilengkapi dengan batas Dirichlet yang sesuai dengan fenomena fisik yang terjadi.

Misalkan terdapat suatu batang besi dengan panjang 1 satuan dengan ujung-ujung batang besi tersebut memiliki suhu 0. Dengan asumsi bahwa suhu awal dari batang besi tersebut mengikuti persamaan , persamaan panas dapat dituliskan

348

Penyelesaian yang diinginkan adalah rumus eksplisit untuk dan . Solusi analitik untuk persamaan ini adalah .

2.1 Finite Di¤erence Method

Salah satu teknik numerik untuk menentukan penyelesaian persamaan tersebut adalah metode beda hingga. Dengan mengingat deret Taylor untuk dan , persamaan panas dapat dituliskan dengan beda hingga

349

Jika diketahui untuk dan , maka persamaan tersebut
akan memberikan hampiran untuk . t0, maka persamaan tersebut akan memberikan hampiran untuk t = t0 + k. Persamaan tersebut juga dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih sederhana (untuk kepentingan komputasi)

350

Namun, persamaan ini mensyaratkan bahwa () agar komputasi berjalan stabil. Di satu sisi, pemilihan h yang besar akan mengakibatkan hampiran tidak merepresentasikan solusi sebenarnya (Ingat bahwa pada metode Euler untuk PDB, pemilihan h yang besar akan mengakibatkan hampiran memiliki galat cukup tinggi), di sisi lain, hampiran untuk akan berjalan sangat lambat karena memaksa pemilihan nilai .

2.2 Crank-Nicholson Method

Metode Crank-Nicholson menggunakan variasi sederhana dari persamaan beda hingga. Dengan menggunakan representasi deret Taylor yang berbeda untuk , persamaan panas dapat dituliskan dengan beda hingga

351

Jika persamaan tersebut dituliskan dalam bentuk yang lebih sederhana,

352

Persamaan ini akan selalu stabil sehingga nilai k dan h dapat dipilih sesuai
kebutuhan.

 

kredit : Fiqhi Aji

Categories: Rangkuman Analisis Numerik | Leave a comment